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数理論理学 第５回「論理式と証明法 4」の要点
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●全称と存在

量化子
        ∀x Ａ　全称　（すべての x についてＡ）
        ∃x Ａ　存在　（ある x についてＡ）

対象領域
        変数が表す対象全体の集合（変数の変域）

真理集合
        述語が真となる対象すべての集合
反例集合
        述語が偽となる対象すべての集合

量化子の意味付け
        ∀x P(x) が真 … P(x)の真理集合が対象領域と一致
        ∀x P(x) が偽 … P(x)の反例集合が非空
        ∃x P(x) が真 … P(x)の真理集合が非空
        ∃x P(x) が偽 … P(x)の反例集合が対象領域と一致

●集合と論理

述語と集合の対応
        述語 P(x), Q(x) が真となる対象全体の集合をそれぞれ S, T と表せば
        否定 ¬P(x)，論理積 P(x)∧Q(x)，論理和 P(x)∨Q(x) が真となる対象全体は
        それぞれ，補集合 S^c，共通部分 S∩T，和集合 S∪T

集合の性質の表現
        集合に関する定義や性質は，論理式を使い簡潔で厳密に表せる
        補集合，和集合，共通部分，差集合，直積集合，べき集合，
        所属，包含，相当，など

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授業のホームページ

山田 俊行
https://www.cs.info.mie-u.ac.jp/~toshi/